Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c ( với a, b, c là hằng số ) thỏa mãn điều kiện f(1) = f(-1). Chứng minh rằng f(-x) = f(x) với mọi x
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Không biết đề có vấn đề không nữa, tại vì không có cách nào để rút được c ra hết do f(n+1)-f(n) kiểu gì c cũng bị khử. Tuy nhiên nếu xét trường hợp với mọi c thì thay n=3 trở lên giải ngược lại không có nghiệm c nào thỏa mãn hết hehe nên là mình nghĩ đề sẽ kiểu "với n=1 hoặc n=2" . Theo mình nghĩ là vậy...
Giả sử n=1 ta có:
\(f\left(1+1\right)-f\left(1\right)=1\Leftrightarrow f\left(2\right)-f\left(1\right)=1\Leftrightarrow4a+2b+c-a-b-c=1\Leftrightarrow3a+b=1\) (1)
Giả sử n=2 ta có:
\(f\left(2+1\right)-f\left(2\right)=4\Leftrightarrow f\left(3\right)-f\left(2\right)=4\Leftrightarrow9a+3b+c-4a-2b-c=4\Leftrightarrow5a+b=4\) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}3a+b=1\\5a+b=4\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{2}\\b=-\dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{3}{2}x^2-\dfrac{7}{2}x+c\) (với c là hằng số bất kì)
Bài 4:
\(f\left(5\right)-f\left(4\right)=2019\)
=>\(125a+25b+25c+d-64a-16b-4c-d=2019\)
=>\(61a+9b+21c=2019\)
\(f\left(7\right)-f\left(2\right)\)
\(=343a+49b+7c+d-8a-4b-2c-d\)
\(=335a+45b+5c\)
\(=5\left(61a+9b+21c\right)=5\cdot2019\) là hợp số
Lời giải:
Ta có:
$f(1)=a+b+c$
$f(-2)=4a-2b+c$
$\Rightarrow 2f(-2)+3f(1)=2(4a-2b+c)+3(a+b+c)=11a-b+5c=0$
$\Rightarrow f(-2)=\frac{-3}{2}f(1)$
Vì $\frac{-3}{2}<0$ nên $f(-2)$ và $f(1)$ không thể cùng dấu.
Bài làm
a) Giả sử P(x) có một nghiệm là 1 thì:
p(1)=a*1^2+b*1+c
=a+b+c
Mà a+b+c=0
=>p(1)=0
=>đa thức p(x) có 1 nghiệm là 1(ĐPCM)
b)Giả sử P(x) có 1 nghiệm là -1 thì
p(-1)=a*(-1)^2+b*(-1)+c
=a-b+c
Mà a-b+c=0
=>p(-1)=0
=> đa thức p(x) có một nghiệm là -1(ĐPCM)
c)TA có:
p(1)=a*1^2+b*1+c=a+b+c
p(-1)=a.(-1)^2+b*(-1)+c=a-b+c
Mà p(1)=p(-1)
=>a+b+c=a-b+c
=>a+b+c-a+b-c=0
=>2b=0 =>b=0
+) Với b=0 =>p(x)=ax^2+c (1)
=>p(-x)=a*(-x)^2+c=a*x+c (2)
Từ (1)và (2) =>p(x)=p(-x) (ĐPCM)
Ta có: f(1) = a.12 + b.1 + c = a + b + c
f(-1) = a.(-1)2 + b.(-1) + c = a - b + c
=> f(1) = f(-1) => a + b + c = a - b + c
=> a + b = a - b => a + b - a + b = 0
=> 2b = 0 => b = 0
Khi đó, ta có: f(-x) = a.(-x)2 + b.(-x) + c = ax2 - 0 . x + c = ax2 + c
f(x) = ax2 + bx + c = ax2 + 0.x + c = ax2 + c
=> f(-x) = f(x)
Ta có: f(1) = a.12 + b.1 + c = a + b + c
f(-1) = a.(-1)2 + b.(-1) + c = a - b + c
f(1) = f(-1) <=> a + b + c = a - b + c <=> b = -b <=> b = 0
=> f(x) = ax2 + c luôn thỏa mãn điều kiện f(-x) = f(x) với mọi x